Epistemologia matematicii - Jean-Pierre Cléro

Această carte tradusă în limba română de Pompiliu Alexandru cuprinde o serie de texte de matematică, de istoria matematicii și de filosofie a matematicii, texte care mi‐au servit drept fundamente pentru a ține cursuri și a scrie alte lucrări, de acum aproximativ douăzeci și cinci de ani și până azi. Am foarte multe amintiri frumoase legate de această carte, mai ales din perioada în care predam la Universitatea din Rouen, unde am fost numit conferențiar și unde mă ocupam cu probleme de epistemologie, axându‐mă mai ales pe epistemologia matematică.

Sunt încântat că Pompiliu Alexandru, pe care l‐am numărat printre studenții mei când susțineam aceste cursuri la Rouen, a vrut să traducăîn limba română câteva capitole, considerând că merită a fi parcurse. De acest tânăr mă leagă o prietenie foarte strânsă, pentru că împărtășim cele mai prețioase valori, așa cum reiese din parcursul său educațional: înainte de a deveni doctor în filosofie la Universitatea din Rouen, cu o teză despre imaginație și schematismul ei, anterior susținuse o altă teză la Universitatea din București, despre filosofia muzicii.

Relativa pierdere a învățământului matematic, care este probabil mult mai puțin gravă în România decât în Franța, are nenumărate urmări culturale. În Franța cel puțin, nu se mai învață deloc cum să definim, să emitem ipoteze, să propunem axiome, să dezvoltăm raționamentele până la a ajunge la concluzii perfect conturate, să deosebim o ipoteză de un discurs asertoric, să raționăm direct sau prin reducere la absurd, așa cum se procedează în matematică. Nu se mai predă deloc de dragul matematicii, ci se predă doar pentru a utiliza o serie de cunoștințe de tip matematic în tot felul de alte activități teoretice și practice. De exemplu, trebuie să o învățăm înainte de a face filosofie, căci filosofia, prin mijloacele sale proprii și așa cum este ea predată astăzi, nu ne va învăța ce înseamnă să definim, să demonstrăm. Asta se întâmplă deoarece nu am învățat aceste lucruri, mai înainte, cu ajutorul matematicii, în mod practic, activ, vital, obținând rezultate, fie ele și modeste. Cât de profundă era formula lui Platon care era afișată pe frontonul Academiei: Nimeni nu intră aici dacă nu este geometru! A ști să definești, să demonstrezi, să raționezi, să măsori amploarea unei ipoteze, să cunoști de asemenea limitele a ceea ce faci în momentul în care știi să faci acel lucru, toate acestea sunt posibile în filosofie doar când le‐am învățat deja din altă parte, mai exact din matematică. Punerea în practică a acestor acte trebuie să fie deja asimilată și să nu ne rămână nimic altceva de făcut decât să o îmbunătățim atunci când ne întrebăm – lucru care este prin esență de natură filosofică și de care matematica nu are imediat nevoie – ce facem de fapt atunci când ne aflăm în fața unei probleme concrete, când încercăm să o descriem și să construim raționamente în legătură cu ea, când încercăm să deducem din ea un alt lucru echivalent. Ceea ce ne aduce matematica în special este sensul metodei, al construcției, al posibilității și puterii de construcție, ne conduce spre ceea ce am putea numi constructivitate sau constructibilitate. A avea o minte matematică nu este același lucru cu a avea o minte matematică în sensul pe care Pascal îl stigmatizează în mod legitim sub termenul de minte de geometru/geometrie (esprit de géométrie) atunci când o opune unei minți subtile/ spirit de finețe (esprit de finesse). Din contră, matematica nu este utilă decât din momentul în care o minte, care se confruntă cu o situație complexă și pe care o cunoaște în complexitatea sa, se apucă să prelucreze elementele și structura acestei situații, având conștiința dificultăților întâlnite, a insuficiențelor elementelor de care dispunem pentru a le formaliza și este pe cale să transforme ceea ce a realizat cu scopul de a obține rezultate pe care nu le‐ar fi putut obține altfel. Mintea matematică este la fel de fină precum este spiritul de finețe/mintea subtilă dacă înțelege multitudinea de aspecte pe care le pune în fața gândirii și o depășește dacă pune la punct metoda sau metodele care îi sunt convenabile pentru a pune stăpânire pe ea.

În Franța am căpătat un obicei deranjant care s‐a adâncit odată cu prăbușirea învățământului matematic, anume
acela de a opune literatura matematicii, literații/umaniștii „matematicienilor/realiștilor”. Această eroare este fatală; oricare adevărat matematician este un om de litere în sensul complexității obiectelor cu care se confruntă sau pe care le inventează. Oricare om de litere ar fi putut foarte bine să fie un matematician, prin aceea că precizia, economia cuvintelor, sintaxa cu ajutorul căreia poate ține un discurs îi sunt comune cu cele ale matematicianului.
Atunci când citim, la Pascal, că „termenii aranjați în mod divers formează un sens diferit, iar sensurile diferit aranjate produc efecte diferite” (Pensées, Brunschvicg 23, Lafuma, 784, Sellier, 645), este greu să nu ne gândim la o balanță bine echilibrată în care cuvintele sunt greutăți distribuite în puncte precise unde pot fi așezate. Această balanță este în mod evident asemănătoare până la identificare cu cea cu ajutorul căreia matematicianul caută centrele de greutate, cicloida, suprafețele și volumele care îi corespund. Atunci când omul de litere caută un cuvânt și ritmul cel mai adecvat pentru a scrie o frază, efortul său nu se deosebește deloc de cel al matematicianului care caută un centru de greutate. Efortul unuia se poate traduce în efortul celuilalt. Atunci când Pascal caracterizează Geometria hazardului ca fiind stupefiantă, adică denumește astfel posibilitatea de a calcula, cu toată precizia, obiecte care nu vor avea niciodată un corespondent posibil în experiența imediată, care ar fi diferența dintre această activitate și aceea de a construi un poem despre cer, despre infern, despre lumea de dincolo? Prin ce s‐ar diferenția de cel care construiește un discurs religios extrem de riguros, chiar dacă revărsarea afectivă ar părea prea mare? Există în demonstrațiile lui Pascal, cele care nu utilizează un aparat algebric, ceva care pare să iasă la suprafață datorită unui limbaj bine cizelat. Mai târziu, unele demonstrații, precum cea a teoremei lui Borel‐Lebesgue, par să emane în principal dintr‐o anumită particularitate a unei limbi. F. de Marçay a scos la suprafață ceea ce „un spațiu metric pre‐compact” datora unui „pre‐” al limbii franceze nu doar în denotația sa, ci și unui aspect ce a putut să introducă, material vorbind, cele necesare pentru a fabrica o teoremă.

Nu ar trebui să ne uimească, ci ar trebui, din contră, să avem în minte aceste elemente atunci când înțelegem că discursurile matematice în varietatea lor, discursurile filosofice în diversitatea lor, discursurile științifice în indefinita lor pluralitate, discursurile tehnice în inepuizabila lor inventivitate, discursurile religioase în infinita lor interpretabilitate, cele poetice în creativitatea lor sunt toate împreună modalități infinit de diverse, fără de sfârșit la nivelul limbajului, înțeles în sensul de limbi multiple în diversitatea lor care ne tentează totodată să le traducem pe unele în altele și care fac această traducere să fie nesfârșită și neavând o finalitate perfectă. Bentham, într‑un text mai puțin cunoscut, mai exact în Rationale of judicial evidence, I. III, p. 274, spunea că „doi plus doi fac patru este o problemă de limbaj”, înțelegând prin aceasta că simbolistica însăși a numerelor este una a limbajului sau a uneia dintre utilizările sale. De aceea este necesar să cultivăm în aceeași măsură aritmetica (matematica în general), dar și domeniile ce țin de limbaj și limbă. Ține de sfera culturală faptul de a nu exclude niciunul dintre aceste domenii și de a le cultiva pentru un timp destul de lung, în scopul de a atinge o anume profunzime pentru ca elevul să înțeleagă, în fiecare caz în parte, că s‑ar putea merge mult mai departe decât a putut el însuși să ajungă cu ajutorul profesorilor săi. Și trebuie ca elevul/ studentul să nu uite niciodată, indiferent care ar fi domeniul în care se va specializa mai târziu, că va avea chiar un regret de a fi făcut o alegere care l‑a îndepărtat de alte opțiuni posibile, cele care continuă totuși să‑i hrănească această alegere. Nu există nimic mai rău decât o specializare precoce și oarbă care mutilează indivizii fără să i instruiască, acest lucru fiind valabil și în cazul specializării pe care ei își imaginează că au ales‑o. Este o imensă iluzie să crezi că ai câștigat timp pentru a te putea dedica mai rapid unei specializări; din contră: apare o piedică în mintea elevului legată de confruntarea cu primele mari dificultăți cu care s‑ar fi putut întâlni și care i‑ar fi furnizat structuri fundamentale ale inteligenței. Nu există doar plăcere – care nu trebuie niciodată să fie exclusă – ci există o alegere ontologică, mult mai profundă, care aparține unei minți care își angajează structurile/conexiunile sale cele mai puternic a priori, având posibilitatea – continuu prezentă – de a le schimba.

Acesta este contextul paginilor de matematică și de filosofie a matematicii care urmează și pe care Pompiliu Alexandru a reușit să le traducă. Scopul nu este să transforme în tehnicieni profesioniști ai matematicii pe elevii/studenții care se ocupă cu filosofia, așa cum am crede, căci lor le‑ar fi dedicate în special paginile care urmează. Scopul ar fi, mai degrabă, de a face ca cititorii de texte matematice să nu cadă în disperare de la prima vedere a unui limbaj aparent arid și foarte formal, propriu acestei discipline. Acesta era scopul cursurilor ținute la Rouen, anume să fie citite textele matematice, cu condiția să facem această lectură în mod sincer, adică angajându-ne noi înșine să privim de aproape trecerea de la un raționament la altul, să „înțelegem” acest raționament până în momentul în care am putea eventual să-l reproducem, să identificăm punctul în care problema este demonstrată sau respinsă, să învățăm să citim noi înșine asemenea texte, să vedem cum dintr-un pământ arid pot să răsară forme luxuriante.

Îi mulțumesc mult prietenului meu, Pompiliu Alexandru, că a redat, în această limbă latină care este româna, și cu care franceza, datorită acestui lucru, are o afinitate mare, o reîntinerire a acestui proiect care se află în chiar centrul culturii. Aș fi putut, probabil, să scriu un text asemănător, schimbând foarte puțin lucrurile, despre muzică sau despre religie, adică despre aceste domenii care sunt în general neglijate de învățământul obișnuit și care sunt puse adesea – mai ales în cazul religiei – în mâinile unor neaveniți care fac poate mai mult rău decât bine. A vorbi neadecvat nu înseamnă doar a greși față de lucruri, ci înseamnă, de asemenea, a face un rău sufletelor, se spune în Phedon. Am putea înțelege, admițând că discursul despre matematică ce urmează ar fi putut fi valabil și despre literatură sau muzică, că dovada acestei includeri a matematicii în cultură nu constituie deloc o contribuție considerabilă; și, cu atât mai puțin, caracteristică. Este adevărat că termenul de „cultură” este un cuvânt ambiguu, datorită sincretismului său care, dintr-un risc de confuzie, face ca orice activitate să se apropie de o alta, și pare că se opune, că devine ostil oricărui efort cu adevărat original, inedit, de creație în cadrul științelor, în matematică sau în filosofie. Bachelard a insistat pe această atitudine  mai degrabă de ruptură decât de continuitate, pe care a văzut o ca trăsătură esențială a creației autentice în activitatea științifică, în raport cu cea care era în trecut și în raport cu alte activități. El însuși a separat net imensa operă dedicată imaginarului, esențial asociată literaturii, de opera, la fel de mare, dedicată filosofiei care trata științele. Cum ni se prezintă această separare? Este ea una reală? Sinceră? Are ea o eficacitate și în ce ar consta aceasta?

Cu siguranță că cel mai rău lucru pe care un epistemolog l-ar face științei ar fi acela de a lipsi cititorul său de efortul de a verifica el însuși direct ideile și de a le exersa. Din păcate, ne-am servit de lucrările multor epistemologi în acest fel. Concentratul text care urmează, pe cât de modest este conținutul său, se prezintă ca un fel de culegere de texte științifice, demonstrații, după modul în care realizăm antologii sau culegeri de poezii, fragmente alese din operele literare sau operele muzicale. Este de la sine înțeles că cititorul, chiar dacă găsește plăcere în aceste texte, nu este încurajat să fie și satisfăcut de alegerea făcută aici; va găsi în cartea de față doar o simplă încurajare de a se adânci el însuși în opere, de a și face propria selecție, bibliotecă și, mai ales, de a și constitui structurile a priori cu care s-ar înarma pentru a gândi o multitudine de obiecte care nu sunt doar cele de natură matematică.

Spațiul

Aristotelism și galileism

S‑a spus înmod nedreptcă spațiul lui Galieo Galilei (pe care îl vom numi de aici încolo spațiu galilean, caracterizat prin localizări indiferente și având un număr oricât de mare am dori de astfel de locuri care sunt înmodabsolut relative, reprezenta o ruptură cu spațiul aristotelician, alcătuit din localizări calitativ distincte și complet individualizate, deoarece toate se raportează la centrul presupus fix al cosmosului. S‑a considerat că acest spațiu galilean, care nu există nicăieri, deoarece este mai degrabă un ansamblu de posturi de observație și o punereînordine a obiectelor plecând de la aceste posturi, reprezintă un progres major în raport cu spațiul aristotelician. Leibniz a exprimat perfect această idee: „Se spune că spațiul nu depinde deloc de situarea corpurilor. Eu spun că este adevărat că nu depinde deloc de o asemenea situare a corpurilor; dar el este această ordine care face ca respectivele corpuri să fie situabile, și prin care ele sunt în așezarea între ele ca existând împreună, precum timpul este această ordine în raport cu poziția lor succesivă” (a IV‑a scrisoare a lui Leibniz către Clarke din 29 Mai 1716). Iar mai încolo, în a V‑a scrisoare de la jumătatea lui august 1716, el tratează spațiul ca pe un sistem de observabilitate: „Mișcarea este independentă de observare, dar nu este deloc independentă de observabilitate. Nu există deloc mișcare când nu există nicio schimbare observabilă. Și când nu există deloc schimbare observabilă, nu există schimbare deloc.”

Ideea pe care o extragem din acest sistem de observație sau, mai degrabă, de observabilitate, care face posibilă geometria și în care geometria îi este știință, constă în aceea că poate măsura spațiul real, cel în care se derulează fenomenele fizice, dar și percepțiile, sentimentele și ansamblul de fenomene psihice. Doctrinele pascaliene ale divertismentului și al imposibilității pentru oameni de a găsi un repaos constau în transpoziția, perfect legitimă, a relativismului mișcărilor corpurilor fizice spre mișcările psihice.

Fără îndoialăcă aici se află punctul de diferențiere față de aristotelismul care face din spațiul matematic nu măsura spațiului real, ci o simplă ficțiune care nu ar putea să intre în constituția niciunui tip de fenomen. Confuzia spațiului real și a spațiului matematic este chiar indicat să fie prevenită, deoarece este sursă de iluzii transcendentale și de paralogisme. Una dintre marile sarcini ale dialecticii aristoteliene, asupra acestui punct comun cu dialectica kantiană, este aceea de a corecta inevitabilele iluzii printr‑o mișcarea rațiunii care revine la sine și prin care ease obligă să cedeze înfața unei mișcări spontane. Astfel, textul Fizicii (III, 4, 203 b 15‑29) poate fi înțeles ca un fel de psihologie transcendentală a credinței în infinit, adică este ca o interogare a iluziilor în care cade aproape inevitabil gândirea umană care vorbește despre infinit.

Or, trebuie să inspectăm această antinomie și să arătăm care ar fi calea de rezolvare posibilă. Antinomia este între concepțiile lui Aristotel și Galilei, primul afirmă că spațiul matematic este o ficțiune obținută prin abstractizare, plecând de la spațiul real, iar al doilea identifică spațiul real cu cel geometric. În aparență, concepția aristotelică și concepția galileană a spațiului sunt doi timpi puternici și opuși ai unei aceleiași dialectici.

Jean Pierre CLERO

Profesor dr. Universitatea din Rouen (FRANȚA).  Predă în cadrul Departamentului de filosofie, fiind specializat în filosofia anglo-saxonă. Preocupările sale filosofice depășesc cadrul filosofiei analitice. Filosofia analitică este punctul de plecare și instrumentul metodologic care îi permite să facă incursiuni exegetice în sfera eticii, în special în etica aplicată și bioetica, în filosofia limbajului și a antropologiei.
A predat anterior la liceele Flaubert și Joan of Arc din Rouen, apoi în 1994 a devenit profesor asociat la Universitatea din Haute-Normandie. Își obține abilitarea la Universitatea Paris X – Nanterre, la 24 ianuarie 1996. În același an, a fost numit profesor la Universitatea din Haute-Normandie. În 2001, el avansează la statutul de profesor de clasa 1, în 2010 obținând statutul de profesor de clasă excepțională. În prezent, este director al Bentham Center, de la Institutul de Științe Politice din Paris, fiind membru al Academiei Internaționale de Istorie a Științelor din Bruxelles.

Pompiliu Alexandru este doctor în filosofie la Universitatea din Rouen, cu o teză despre imaginație și schematismul ei, și doctor în filosofie la Universitatea din București, cu o teză despre filosofia muzicii.

Edițiile de serie sunt cărți cu tiraj mediu adresate intelectualității active, publicului atașat valorilor umaniste ale culturii române și europene. Capodopere, opere memorabile sau doar studii contributive în evoluțiile culturilor noastre, în istorie sau în prezent aceste ediții foarte îngrijite sunt larg accesibile și produc emoție celor interesați.